$R=\mathbb{Z}[\sqrt{-1}]$ の可逆元は，ノルム写像
\[N \colon \mathbb{Z}[\sqrt{-1}] \ni a+b\sqrt{-1} \mapsto a^2-b^2 \in \mathbb{Z}\]
をみると，$\alpha \in R^{\times} \iff N(\alpha) = \pm 1$ となり，$\pm 1,\pm \sqrt{-1}$ であるとすぐわかってしまう．
また，例えば $A=\mathbb{C}[x,y]/(x^2-y^5)$ を考えると，ノルム写像
\[N \colon \mathbb{C}[x,y]/(x^2-y^5) \ni f(y)+x \cdot g(y) \mapsto f(y)-x^2 \cdot g(y)=f(y)-y^5 \cdot g(y) \in \mathbb{C}[y]\]
を考えれば，$y$ が既約元であることがわかる
(なぜなら，$\alpha,\beta \in A$ で $y=\alpha\beta$ と書けたとすれば，$y^2=N(\alpha)N(\beta)$ とかけ，後は上をみて明らかに矛盾)．
