R1だけどS2じゃない代数多様体

$f \colon X \to \mathbb{A}^1_{\mathbb{C}}$ をハーツホーンに載ってる捩れ3次曲線の族とする．つまり，$\pi^{-1}(t)=X_t$ としたとき，$t \neq 0$ なら $X_t \simeq \mathbb{P}^1$ で，$X_0$ は被約化 $(X_0)_\mathrm{red}$ が結節点つきの平面3次曲線となるものとする．$(X_0)_\mathrm{red}$ の特異点を $p$ とすれば，$X_0$ は $p$ に埋没点を持つ．

$X$の特異点は $p$ のみである．正規化を $\nu \colon Y \to X$ とすれば，$Y$ は $\mathbb{A}^1$ 上の $\mathbb{P}^1$ 束，すなわち $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{A}^1$ に同型である．自然な射影を $g \colon Y \to \mathbb{A}^1$ としておく．特に $X$ は非正規だが余次元1で非特異な代数多様体である．

$X_0$ は $X$ の Cartier 因子である．以下の写像を考える：
\[\alpha \colon \mathrm{CaDiv } (X) \to Z_1(X). \]
この写像は常に$X$が余次元1で非特異なら定義できる．
定義より $X_0$ は $(X_0)_\mathrm{red}$ に移る．
しかし $(X_0)_\mathrm{red}$ は $X$ の有効 Cartier 因子ではない．

要するに， $X$ が $S_2$ 条件を満たさないとき，素因子 $D$ が $\alpha$ の像にあるからといって， $D$ は有効 Cartier 因子とは限らない．