完備化メモ

完備は位相的性質でないっていうのはとても有名な事実で，例えば $(0,1)$ と $\mathbb{R}$ は同相だが $(0,1)$ は完備でない．じゃあ完備であるという性質って何によって保たれているんだよというと，例えばこれは一様連続写像によって保たれてる．

命題： $(X,d_X),(Y,d_Y)$ を距離空間とし，$f:X \to Y$を一様連続かつ全単射で，$f^{-1}:Y \to X$も一様連続だとする．このとき $X$ が完備ならば， $Y$ も完備．

証明： $(y_n)$ を $Y$ の Cauchy 列とする．$f^{-1}(y_n)=:x_n$ として数列 $(x_n)$ を考える．この $(x_n)$ は Cauchy 列である．実際， $f^{-1}$ は一様連続だから，任意の $\varepsilon>0$ についてある $\delta>0$ が存在して，
\[\forall l,k \in \mathbb{N},d_Y(y_k,y_l) < \delta \Rightarrow d_X(x_k,x_l) < \varepsilon\]
となる．さらに， $(y_n)$ は Cauchy 列だから，十分大きい $N \in \mathbb{N}$ をとって
\[\forall l,k ≥ N \Rightarrow d_Y(y_k,y_l) < \delta\]
を満たす．上の二つから，以下の事が言えた．
\[\forall \varepsilon > 0,\exists N \in \mathbb{N} , \forall l,k≥ N,d_X(x_l,x_k)<\varepsilon\]
よって $(x_n)$ は Cauchy 列である．

$X$ は完備だから $(x_n)$ は収束する． $x_{\infty} := \lim_{n \to \infty} x_n$ とし， $ y_{\infty} := f(x_{\infty})$ とする．$f$ は一様連続だから，任意の $\varepsilon > 0$ についてある $\delta > 0$ が存在して以下が成り立つ．
\[\forall n \in \mathbb{N},d_X(x_n,x_{\infty}) < \delta \Rightarrow d_Y(y_n,y_{\infty}) < \varepsilon\]
$x_n$ は $x_{\infty}$ に収束するので，十分大きい $N \in \mathbb{N}$ をとって
\[\forall n ≥ N,d_X(x_n,x_{\infty}) < \delta\]
である．上の二つから，以下の事が言えた．

\[\forall \varepsilon > 0,\exists N \in \mathbb{N} , \forall n≥ N ,d_Y(y_n,y_{\infty})
<\varepsilon\]

よって $(y_n)$ は $y_{\infty}$ に収束する．任意の Cauchy 列が収束するので，$Y$は完備． $\Box$

この事実自体は1年以上前に気付いていたんだけど，完全に忘れて今に至ったのでメモしておく．ただ使える事実なのかはよくわからない．

似たようなやつで，上の命題の「完備」を「全有界」に書き換えた奴も成り立ってる．