2013年3月18日に書いてあることが

わかった，というか知り合いに随分前に教えてもらっていたが気付かなかった．以下抜粋．

『F:U(⊂R)→R^2を、F(x)=(x,1/d(x,∂U))で定めると、これが像への同相写像になっていて、しかも像は閉集合ゆえ完備、というのはどうでしょうか。』

あーなるほど境界に近づくにつれ発散する関数を考えれば良いのか．つーか $(0,1)$ と $\mathbb{R}$ が同相っていうのも結局は境界で発散するという事っすね．